Cálculo Ejemplos

$7 e^{- 3 x} \ln (x)$

Paso 1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{- 3 x} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- 3 x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Paso 4

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

Paso 6.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \frac{e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Combina $7$ y $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} - 21 \ln (x) e^{- 3 x}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$- 21 e^{- 3 x} \ln (x) + \frac{7 e^{- 3 x}}{x}$