Cálculo Ejemplos

$8 \sqrt{6 x^{2} + 9}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x^{2} + 9}$ como ${(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 6 x^{2} + 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x^{2} + 9$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{2} + 9$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(6 x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{{(6 x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 9

Mueve ${(6 x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $8$ .

$\frac{8}{2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9]$

Paso 11

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9]$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9]$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9]$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 9]$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 14

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 16

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 17

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + 0)$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Suma $12 x$ y $0$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (12 x)$

Paso 18.2

Combina $12$ y $\frac{4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 18.3

Multiplica $12$ por $4$ .

$\frac{48}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 18.4

Combina $\frac{48}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{48 x}{{(6 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$