Cálculo Ejemplos

$arcsec (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $arcsec (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}$ .

$1 \frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} (- x^{- 2})$

Paso 6

Combina $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Paso 7

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Paso 7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{1 - 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Paso 8

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1} x}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2}}{x^{2}} - 1} x}$

Paso 9.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - 1} x}$