Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{x}{y})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Paso 3.3.2

Combina $y$ y $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $y x^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Paso 3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$