Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{x}{a})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{a}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{a}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{a}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{a}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{a}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{a (1 + \frac{x^{2}}{a^{2}})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{a \cdot 1 + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{1}{a + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

Paso 3.3.2

Combina $a$ y $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a^{2}}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $a$ y $a^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $a$ de $a x^{2}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a^{2}}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a \cdot a}}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a \cdot a}}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{a + \frac{x^{2}}{a}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Para escribir $a$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{a \cdot a}{a} + \frac{x^{2}}{a}}$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{a \cdot a + x^{2}}{a}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{1}{\frac{a^{2} + x^{2}}{a}}$

Paso 3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{a}{a^{2} + x^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$