Cálculo Ejemplos

Evalúe el Límite limite a medida que x se aproxima a infinity de (1+a/x)^x
Paso 1
Combina los términos.
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Paso 1.1
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 1.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 2
Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.
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Paso 2.1
Reescribe como .
Paso 2.2
Expande ; para ello, mueve fuera del logaritmo.
Paso 3
Mueve el límite dentro del exponente.
Paso 4
Reescribe como .
Paso 5
Aplica la regla de l'Hôpital
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Paso 5.1
Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.
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Paso 5.1.1
Resta el límite del numerador y el límite del denominador.
Paso 5.1.2
Evalúa el límite del numerador.
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Paso 5.1.2.1
Mueve el límite dentro del logaritmo.
Paso 5.1.2.2
Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de en el denominador, que es .
Paso 5.1.2.3
Evalúa el límite.
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Paso 5.1.2.3.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.1.2.3.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.1.2.3.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.1.2.3.2
Cancela el factor común de .
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Paso 5.1.2.3.2.1
Cancela el factor común.
Paso 5.1.2.3.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.1.2.3.3
Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que se aproxima a .
Paso 5.1.2.3.4
Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que se aproxima a .
Paso 5.1.2.3.5
Evalúa el límite de que es constante cuando se acerca a .
Paso 5.1.2.3.6
Mueve el término fuera del límite porque es constante con respecto a .
Paso 5.1.2.4
Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción se acerca a .
Paso 5.1.2.5
Evalúa el límite.
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Paso 5.1.2.5.1
Evalúa el límite de que es constante cuando se acerca a .
Paso 5.1.2.5.2
Simplifica la respuesta.
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Paso 5.1.2.5.2.1
Divide por .
Paso 5.1.2.5.2.2
Multiplica por .
Paso 5.1.2.5.2.3
Suma y .
Paso 5.1.2.5.2.4
El logaritmo natural de es .
Paso 5.1.3
Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción se acerca a .
Paso 5.1.4
La expresión contiene una división por . La expresión es indefinida.
Indefinida
Paso 5.2
Como es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.
Paso 5.3
Obtén la derivada del numerador y el denominador.
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Paso 5.3.1
Diferencia el numerador y el denominador.
Paso 5.3.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 5.3.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 5.3.2.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 5.3.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 5.3.3
Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por .
Paso 5.3.4
Multiplica por .
Paso 5.3.5
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 5.3.6
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 5.3.7
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.3.8
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.3.9
Suma y .
Paso 5.3.10
Multiplica por .
Paso 5.3.11
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.3.12
Multiplica por .
Paso 5.3.13
Multiplica por .
Paso 5.3.14
Cancela los factores comunes.
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Paso 5.3.14.1
Factoriza de .
Paso 5.3.14.2
Cancela el factor común.
Paso 5.3.14.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.3.15
Simplifica.
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Paso 5.3.15.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 5.3.15.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 5.3.15.3
Simplifica el numerador.
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Paso 5.3.15.3.1
Resta de .
Paso 5.3.15.3.2
Resta de .
Paso 5.3.15.4
Combina los términos.
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Paso 5.3.15.4.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.3.15.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.3.15.4.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 5.3.15.4.4
Suma y .
Paso 5.3.15.4.5
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 5.3.15.5
Factoriza de .
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Paso 5.3.15.5.1
Factoriza de .
Paso 5.3.15.5.2
Factoriza de .
Paso 5.3.15.5.3
Factoriza de .
Paso 5.3.16
Reescribe como .
Paso 5.3.17
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.3.18
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 5.4
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 5.5
Combina factores.
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Paso 5.5.1
Multiplica por .
Paso 5.5.2
Multiplica por .
Paso 5.5.3
Combina y .
Paso 5.6
Cancela el factor común de y .
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Paso 5.6.1
Factoriza de .
Paso 5.6.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 5.6.2.1
Cancela el factor común.
Paso 5.6.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 6
Mueve el término fuera del límite porque es constante con respecto a .
Paso 7
Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de en el denominador, que es .
Paso 8
Evalúa el límite.
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Paso 8.1
Cancela el factor común de .
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Paso 8.1.1
Cancela el factor común.
Paso 8.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 8.2
Cancela el factor común de .
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Paso 8.2.1
Cancela el factor común.
Paso 8.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 8.3
Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que se aproxima a .
Paso 8.4
Evalúa el límite de que es constante cuando se acerca a .
Paso 8.5
Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que se aproxima a .
Paso 8.6
Evalúa el límite de que es constante cuando se acerca a .
Paso 8.7
Mueve el término fuera del límite porque es constante con respecto a .
Paso 9
Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción se acerca a .
Paso 10
Simplifica la respuesta.
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Paso 10.1
Simplifica el denominador.
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Paso 10.1.1
Multiplica por .
Paso 10.1.2
Suma y .
Paso 10.2
Divide por .
Paso 10.3
Multiplica por .