Cálculo Ejemplos

$f (x) = (1 + 4 x^{2}) \arctan (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + 4 x^{2}$ y $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.6

Multiplica $1 + 4 x^{2}$ por $1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 3.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 (2 x))$

Paso 3.12

Multiplica $2$ por $4$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (8 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $1 + 4 x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 + 8 x \arctan (2 x)$