Cálculo Ejemplos

$\frac{f (x) (a x + b x^{2})}{a m + b m^{2}}$

Paso 1

Factoriza $x$ de $a x + b x^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $a x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + b x^{2})}{a m + b m^{2}}]$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $b x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + x (b x))}{a m + b m^{2}}]$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x a + x (b x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x (a + b x))}{a m + b m^{2}}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{a m + b m^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Factoriza $m$ de $a m + b m^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $m$ de $a m$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + b m^{2}}]$

Paso 2.1.2

Factoriza $m$ de $b m^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + m (b m)}]$

Paso 2.1.3

Factoriza $m$ de $m a + m (b m)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}]$

Paso 2.2

Reordena los factores en $\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}]$

Paso 2.3

Como $\frac{f (x)}{m (a + b m)}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}$ con respecto a $x$ es $\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = a + b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [a + b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a + b x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b x$ con respecto a $x$ es $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \frac{d}{d x} [x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \cdot 1) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Multiplica $b$ por $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \cdot 1)$

Paso 4.8

Multiplica $a + b x$ por $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + a + b x)$

Paso 5

Suma $x b$ y $b x$ .

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Paso 5.1

Reordena $x$ y $b$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + b x + b x)$

Paso 5.2

Suma $b x$ y $b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + 2 b x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} (a + 2 b x)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3.2

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3.5

Combina $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ y $a$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Paso 6.3.6

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} (2 b x)$

Paso 6.3.7

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} (2 b x)$

Paso 6.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} (2 b x)$

Paso 6.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{2}} (2 b x)$

Paso 6.3.10

Combina $2$ y $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}} (b x)$

Paso 6.3.11

Combina $b$ y $\frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}} x$

Paso 6.3.12

Combina $\frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}}$ y $x$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x)) x}{m a + b m^{2}}$

Paso 6.3.13

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 \cdot b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Paso 6.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{f (x) a + 2 b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{a f (x) + 2 b x f (x)}{a m + m^{2} b}$