Cálculo Ejemplos

$\cos (\arctan (2 x))$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (2 x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, 2 x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arctan (2 x))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

Paso 1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

Paso 1.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3.4

Reescribe $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.5

Multiplica los exponentes en ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 7.2

Combina ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 7.3

Mueve ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 12.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 12.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Paso 16

Combina fracciones.

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Paso 16.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 16.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 16.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 16.4

Combina $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 16.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$