Cálculo Ejemplos

$\arctan (x - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Paso 3.2.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Paso 3.2.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Paso 3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$