Cálculo Ejemplos

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Paso 2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ y $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Paso 3.5

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Paso 4.3.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 4.3.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 4.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 4.3.7

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Paso 4.4

Divide $0$ por $x^{2} + 1$ .

$0$