Cálculo Ejemplos

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x^{2}$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

Paso 4.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

Paso 4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

Paso 4.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$