Cálculo Ejemplos

$\cos (\sqrt{x^{2} + 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 8.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 12.3

Combina $- 2$ y $\frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 12.4

Combina $\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Reordena los factores en $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$- \frac{x \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$