Cálculo Ejemplos

$- \csc (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Paso 1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ por $1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 9

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 10

Combina $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 11

Combina $\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ y $\frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}})}{2}$

Paso 12

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$