Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (\frac{1}{x})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Paso 2.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Paso 2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Paso 2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Paso 2.9

Resta $2$ de $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{3}{x}$

Paso 3.2.3

Resta $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$- \frac{3}{x}$