Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 (3 x + 1) (1 - 5 x)$

Paso 1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 (3 x + 1) (1 - 5 x)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [(3 x + 1) (1 - 5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [(3 x + 1) (1 - 5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x + 1$ y $g (x) = 1 - 5 x$ .

$10 ((3 x + 1) \frac{d}{d x} [1 - 5 x] + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$10 ((3 x + 1) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 ((3 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$10 ((3 x + 1) \frac{d}{d x} [- 5 x] + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 ((3 x + 1) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 ((3 x + 1) (- 5 \cdot 1) + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$10 ((3 x + 1) \cdot - 5 + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.6.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $3 x + 1$ .

$10 (- 5 \cdot (3 x + 1) + (1 - 5 x) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) (3 + 0))$

Paso 3.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.12.1

Suma $3$ y $0$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + (1 - 5 x) \cdot 3)$

Paso 3.12.2

Mueve $3$ a la izquierda de $1 - 5 x$ .

$10 (- 5 (3 x + 1) + 3 \cdot (1 - 5 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- 5 (3 x) - 5 \cdot 1 + 3 (1 - 5 x))$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- 5 (3 x) - 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x))$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- 5 (3 x)) + 10 (- 5 \cdot 1) + 10 (3 \cdot 1) + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$10 (- 15 x) + 10 (- 5 \cdot 1) + 10 (3 \cdot 1) + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.2

Multiplica $- 15$ por $10$ .

$- 150 x + 10 (- 5 \cdot 1) + 10 (3 \cdot 1) + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 150 x + 10 \cdot - 5 + 10 (3 \cdot 1) + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.4

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$- 150 x - 50 + 10 (3 \cdot 1) + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 150 x - 50 + 10 \cdot 3 + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.6

Multiplica $10$ por $3$ .

$- 150 x - 50 + 30 + 10 (3 (- 5 x))$

Paso 4.4.7

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$- 150 x - 50 + 30 + 10 (- 15 x)$

Paso 4.4.8

Multiplica $- 15$ por $10$ .

$- 150 x - 50 + 30 - 150 x$

Paso 4.4.9

Suma $- 50$ y $30$ .

$- 150 x - 20 - 150 x$

Paso 4.4.10

Resta $150 x$ de $- 150 x$ .

$- 300 x - 20$