Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 9)}^{2}$ como $(x - 9) (x - 9)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

Paso 2

Expande $(x - 9) (x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

Paso 3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 18 x + 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.3

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.5

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.6

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.7

Suma $2 x - 18$ y $0$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

Paso 5.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4

Combina los términos.

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Paso 6.4.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.3

Mueve $- 18$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.5

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Paso 6.4.7

Multiplica $3$ por $81$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Paso 6.4.8

Suma $2 x^{4}$ y $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Paso 6.4.9

Resta $54 x^{3}$ de $- 18 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$