Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x^{5} + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 8 x$ y $g (x) = x^{5} + 3$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [8 x] - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \cdot 1) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + 0)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{8 \cdot x^{5} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 3.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x^{1})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{4 + 1}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1 \cdot 8 \cdot 5$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 40 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $40 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$\frac{- 32 x^{5} + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $8$ de $- 32 x^{5} + 24$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $8$ de $- 32 x^{5}$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $8$ de $8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5} + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{5}$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) - 1 (- 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{5}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Reescribe $- (4 x^{5} - 3)$ como $- 1 (4 x^{5} - 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (4 x^{5} - 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$