Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x$