Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.9

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{- 2}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5

Reordena los términos.

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$