Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 \log_{4} (x - 3)$

Paso 1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \log_{4} (x - 3)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\log_{4} (x - 3)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\log_{4} (x - 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{4} (x)$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{4} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (4)}$ .

$- 3 (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$- 3 (\frac{1}{(x - 3) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{(x - 3) \ln (4)}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{(x - 3) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)} (1 + 0)$

Paso 3.6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)} \cdot 1$

Paso 3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{(x - 3) \ln (4)}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$