Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (3 x^{2} + 5)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (3 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Paso 3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 (\sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} + 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 4.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 5

Eleva $\sec (3 x^{2} + 5)$ a la potencia de $1$ .

$12 (\sec^{1} (3 x^{2} + 5) \sec^{2} (3 x^{2} + 5)) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 {\sec (3 x^{2} + 5)}^{1 + 2} (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 7

Suma $1$ y $2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $3$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 12

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + 0)$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x)$

Paso 13.2

Multiplica $6$ por $12$ .

$72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$

Paso 13.3

Reordena los factores de $72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$ .

$72 x \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5)$