Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

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Paso 3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Paso 3.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x) e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Paso 4.3.2

Resta $4 \sin (x) e^{x}$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Mueve $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Paso 4.3.2.2

Resta $4 e^{x} \sin (x)$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Paso 4.3.3

Resta $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 \cos (x) e^{x}$ .

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Paso 4.3.3.1

Mueve $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Paso 4.3.3.2

Resta $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Paso 4.3.4

Suma $- 8 e^{x} \sin (x)$ y $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$