Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.3

Combina $6$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.4

Combina $\frac{6}{x^{6}}$ y $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{6}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{5}$ de $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Paso 5

Combina los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Paso 5.2

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$