Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5})$

Paso 3.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$16 x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) x^{- 5}$

Paso 3.9

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4} x^{- 5}$

Paso 3.10

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{- 5}$ .

$16 x^{3} + \frac{4 x^{- 5}}{4}$

Paso 3.11

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Paso 3.12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.12.1

Cancela el factor común.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Paso 3.12.2

Reescribe la expresión.

$16 x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$