Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x^{3} + 10 x^{2})] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} + 10 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $7$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.6

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{2}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 (2 x)) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.8

Multiplica $2$ por $10$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x)) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ y $6$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Paso 5.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 12 \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$(21 x^{2} + 20 x) \frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} + 12 x \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$