Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 \ln (x)}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.4

Combina fracciones.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 4.4.2

Combina $2$ y $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $2 (- \ln (x))$ .

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$