Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3^{\ln (\cos (x))}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (\cos (x))$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \sec (x) (- \sin (x))$ .

$- 3^{\ln (\cos (x))} \sec (x) \sin (x) \ln (3)$

Paso 5.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- 3^{\ln (\cos (x))} \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $3^{\ln (\cos (x))}$ .

$- \frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \sin (x) \ln (3)$

Paso 5.4

Combina $\sin (x)$ y $\frac{3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)} \ln (3)$

Paso 5.5

Combina $\ln (3)$ y $\frac{\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\ln (3) (\sin (x) \cdot 3^{\ln (\cos (x))})}{\cos (x)}$

Paso 5.6

Separa las fracciones.

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 5.7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- (\frac{\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}}{1} \tan (x))$

Paso 5.8

Divide $\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))}$ por $1$ .

$- (\ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

Paso 5.9

Reordena los factores en $- \ln (3) \cdot 3^{\ln (\cos (x))} \tan (x)$ .

$- 3^{\ln (\cos (x))} \ln (3) \tan (x)$