Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $2 x + 5$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.5.2

Divide $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $(A) (2 x + 5)$ por $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.4

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.5

Cancela el factor común de $2 x + 5$ .

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Paso 1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Paso 1.1.6.5.2

Divide $(B) (3 x - 1)$ por $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Paso 1.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Paso 1.1.6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.6.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.6.9

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Paso 1.1.7

Reordena.

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Paso 1.1.7.1

Mueve $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Paso 1.1.7.2

Mueve $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Paso 1.1.7.3

Mueve $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = 2 A + 3 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $2 = 2 A + 3 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A + 3 B = 2$ .

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $3 B$ de ambos lados de la ecuación.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.3

Divide cada término en $2 A = 2 - 3 B$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.3.1

Divide cada término en $2 A = 2 - 3 B$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.3.3.1.1

Divide $2$ por $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - \frac{3 B}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = 5 A - 1 B$ por $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.1.5

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Para escribir $- B$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.2.2.1.3.1

Combina $- B$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.2.1.4.1.1

Factoriza $B$ de $- 15 B - B \cdot 2$ .

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Paso 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $B$ de $- 15 B$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $B$ de $- B \cdot 2$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $B$ de $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.3

Resta $2$ de $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.2

Mueve $- 17$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ .

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $5$ de $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.4.1.1

Simplifica $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

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Paso 1.3.3.4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{17}$ al numerador.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{17 B}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 1.3.3.4.1.1.2.1

Factoriza $17$ de $- 17 B$ .

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.3

Multiplica.

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Paso 1.3.3.4.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.1.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.4.2.1

Multiplica $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

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Paso 1.3.3.4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.3.4.2.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{8}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ por $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1.1.1

Combina $3$ y $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.2.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.4.2.1.2.3

Resta $12$ de $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{5}{17}$ por $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{8}{17}$ por $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{5}{17}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{17}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 3 x - 1$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 3 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{8}{17}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{8}{17}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 2 x + 5$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 2 x + 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 10.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 10.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 10.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 10.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 10.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 10.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 10.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 11.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $8$ y $34$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$