Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos^{3} (\frac{x}{x + 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (\frac{x}{x + 1})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6.5

Combina $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}} \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})$

Paso 5.6.6

Combina $\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}}$ y $\cos^{2} (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}} \sin (\frac{x}{x + 1})$

Paso 5.6.7

Combina $\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$ y $\sin (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$