Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos^{3} (4 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (4 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (4 x)$ .

$3 \cos^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$3 \cos^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (4 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$3 \cos^{2} (4 x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \cos^{2} (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \cos^{2} (4 x) \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$- 12 \cos^{2} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (4 x) \sin (4 x) \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12 \cos^{2} (4 x) \sin (4 x)$