Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{7 x}{4 - \tan (x)}$

Paso 1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 x}{4 - \tan (x)}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 - \tan (x)$ .

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $4 - \tan (x)$ por $1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 5

Combina $7$ y $\frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{7 (4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 \cdot 4 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{28 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{28 - 7 \tan (x) + 7 x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza $7$ de $7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $7$ de $7 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $7$ de $28$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $7$ de $- 7 \tan (x)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.4

Factoriza $7$ de $7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Paso 6.4.5

Factoriza $7$ de $7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4 - \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$