Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arcsin (e^{- 2 x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = e^{- 2 x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{- 2 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Combina fracciones.

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Paso 4.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}}$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}} \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 4 x}}}$