Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{arccot (6 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{arccot (6 x)}$ como ${arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = arccot (6 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $arccot (6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $arccot (6 x)$ .

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {arccot (6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${arccot (6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{arccot (6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 7.3

Mueve ${arccot (6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [arccot (6 x)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccot (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [arccot (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 8.2

La derivada de $arccot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{1 + {(6 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 9

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 9.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{1 + {(6 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 (x)$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{1 + 6^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 9.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{1 + 36 x^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + 36 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 9.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4

Simplifica los términos.

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Paso 9.4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.4.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})}$ .

$\frac{- 6}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.4.3

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $2$ de $2 {arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{{arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3}{{arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})} \cdot 1$

Paso 13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{{arccot (6 x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 36 x^{2})}$