Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $x + \frac{c}{x}$ por $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 4

Combinar.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 14

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 15

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{c}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 17

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{c}{x}$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 18

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{c}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.1.6

Multiplica $c$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.3.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.2.2

Suma $c$ y $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.3.3

Suma $c$ y $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.4.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Paso 20.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Paso 20.4.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Paso 20.4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 20.5

Combina $x$ y $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 20.6

Reduce la expresión $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.6.1

Factoriza $x$ de $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Paso 20.6.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Paso 20.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Paso 20.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Paso 20.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Paso 20.8

Multiplica $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.8.1

Combina $2$ y $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Paso 20.8.2

Combina $c$ y $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Paso 20.9

Mueve $2$ a la izquierda de $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$