Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x y}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 7.3

Mueve ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 8

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Combina $y$ y $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 11

Multiplica $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$\frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 12.2

Combina los términos.

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Paso 12.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.2

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.2.2.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$