Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \log_{4} (3 - x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \log_{4} (3 - x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{4} (3 - x)] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{4} (x)$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{4} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (4)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{(3 - x) \ln (4)}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [- x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- \frac{d}{d x} [x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- 1 \cdot 1) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \cdot - 1 + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)}$ y $- 1$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 1}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.3.2

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) (2 x)$

Paso 3.9

Mueve $\log_{4} (- x + 3)$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3)$

Paso 4

Para escribir $2 x \log_{4} (- x + 3)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3) \cdot \frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$

Paso 5

Combina $2 x \log_{4} (- x + 3)$ y $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + \frac{2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Simplifica $2 \log_{4} (- x + 3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.2.1

Simplifica $3 \ln (4)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (4^{3}))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4)) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) x + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{- x^{2} - \ln (4) (x \cdot x) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.3.2

Reordena los factores en $- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ .

$\frac{- x^{2} - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})$ .

$\frac{- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}))$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.9

Reescribe $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ como $- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $- x \ln (4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) + 3 \ln (4)}$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $3 \ln (4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))}$

Paso 7.12

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Paso 7.13

Reescribe $- (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ como $- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Paso 7.14

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Paso 7.15

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

Paso 7.16

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \ln (64) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$