Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{x^{4}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{x^{4}}$ como $e^{\ln (x^{x^{4}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{4}})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{x^{4}})$ ; para ello, mueve $x^{4}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4} \ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{4} \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.2.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + e^{x^{4} \ln (x)} (\ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + 4 e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} \ln (x)$