Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + {(200 - x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(200 - x)}^{2}$ como $(200 - x) (200 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + (200 - x) (200 - x)]$

Paso 2

Expande $(200 - x) (200 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 (200 - x) - x (200 - x)]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 \cdot 200 + 200 (- x) - x (200 - x)]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 \cdot 200 + 200 (- x) - x \cdot 200 - x (- x)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $200$ por $200$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 + 200 (- x) - x \cdot 200 - x (- x)]$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $200$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - x \cdot 200 - x (- x)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $200$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - x (- x)]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Paso 3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x + 1 x^{2}]$

Paso 3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x + x^{2}]$

Paso 3.2

Resta $200 x$ de $- 200 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 400 x + x^{2}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 40000 - 400 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3

Como $40000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 400 x]$ .

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Paso 5.1

Como $- 400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 400 x$ con respecto a $x$ es $- 400 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - 400 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 0 - 400 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.3

Multiplica $- 400$ por $1$ .

$2 x + 0 - 400 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 0 - 400 + 2 x$

Paso 7

Combina los términos.

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Paso 7.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x - 400 + 2 x$

Paso 7.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$4 x - 400$