Cálculo Ejemplos

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $4 - 3 x - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.1.1.1

Mueve $4$ .

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.1.1.2

Reordena $- 3 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 4$

Paso 7

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25$

Paso 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 9

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 9.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 10

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 10.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 4, 5, - 5$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 25 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25$

Paso 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 13.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 13.2.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 13.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 13.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 13.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

Paso 15.1.3

$- 0.\overline{923076}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4.5$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4.5$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

Paso 15.2.3

$0.57894736$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

Paso 15.3.3

$- 0.16$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

Paso 15.4.3

$0.875$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 15.5.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

Paso 15.5.3

$- 2.\overline{153846}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < - 4$ o $1 < x < 5$

Paso 17

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

Paso 18