Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 1$

Paso 7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

Resta $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Paso 10

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.3

Resta $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Paso 10.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Paso 10.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + i$

Paso 11

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 11.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.3

Resta $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Paso 11.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Paso 11.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - i$

Paso 12

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + i, 2 - i$

Paso 13

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Paso 14

Consolida las soluciones.

$x = 4, - 1$

Paso 15

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Paso 16

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 16.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 16.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Paso 16.1.3

$0.\overline{648}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 16.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 16.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Paso 16.2.3

$- 0.8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 16.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 16.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Paso 16.3.3

$0.82352941$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 16.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 4$

Paso 18

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 1, 4)$

Paso 19