Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Paso 5

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Paso 6.3

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Paso 6.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

Paso 6.6

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

Paso 6.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

Paso 6.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 6.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

Paso 7