Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $9 x^{2} - 10 x + 5$ y $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Paso 3.1.2

Multiplica $9$ por $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$324 - 60 + 5$

Paso 3.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.1

Resta $60$ de $324$ .

$264 + 5$

Paso 3.2.2

Suma $264$ y $5$ .

$269$