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Cálculo Ejemplos
f(x)=3e2x+1f(x)=3e2x+1
Paso 1
Escribe f(x)=3e2x+1f(x)=3e2x+1 como una ecuación.
y=3e2x+1y=3e2x+1
Paso 2
Intercambia las variables.
x=3e2y+1x=3e2y+1
Paso 3
Paso 3.1
Reescribe la ecuación como 3e2y+1=x3e2y+1=x.
3e2y+1=x3e2y+1=x
Paso 3.2
Resta 11 de ambos lados de la ecuación.
3e2y=x-13e2y=x−1
Paso 3.3
Divide cada término en 3e2y=x-13e2y=x−1 por 33 y simplifica.
Paso 3.3.1
Divide cada término en 3e2y=x-13e2y=x−1 por 33.
3e2y3=x3+-133e2y3=x3+−13
Paso 3.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 3.3.2.1
Cancela el factor común de 33.
Paso 3.3.2.1.1
Cancela el factor común.
3e2y3=x3+-133e2y3=x3+−13
Paso 3.3.2.1.2
Divide e2ye2y por 11.
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
Paso 3.3.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 3.3.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
e2y=x3-13e2y=x3−13
e2y=x3-13e2y=x3−13
e2y=x3-13e2y=x3−13
Paso 3.4
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
ln(e2y)=ln(x3-13)ln(e2y)=ln(x3−13)
Paso 3.5
Expande el lado izquierdo.
Paso 3.5.1
Expande ln(e2y)ln(e2y); para ello, mueve 2y2y fuera del logaritmo.
2yln(e)=ln(x3-13)2yln(e)=ln(x3−13)
Paso 3.5.2
El logaritmo natural de ee es 11.
2y⋅1=ln(x3-13)2y⋅1=ln(x3−13)
Paso 3.5.3
Multiplica 22 por 11.
2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)
2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)
Paso 3.6
Divide cada término en 2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13) por 22 y simplifica.
Paso 3.6.1
Divide cada término en 2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13) por 22.
2y2=ln(x3-13)22y2=ln(x3−13)2
Paso 3.6.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 3.6.2.1
Cancela el factor común de 22.
Paso 3.6.2.1.1
Cancela el factor común.
2y2=ln(x3-13)22y2=ln(x3−13)2
Paso 3.6.2.1.2
Divide yy por 11.
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
Paso 4
Replace yy with f-1(x)f−1(x) to show the final answer.
f-1(x)=ln(x3-13)2f−1(x)=ln(x3−13)2
Paso 5
Paso 5.1
Para verificar la inversa, comprueba si f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x y f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x.
Paso 5.2
Evalúa f-1(f(x))f−1(f(x)).
Paso 5.2.1
Establece la función de resultado compuesta.
f-1(f(x))f−1(f(x))
Paso 5.2.2
Evalúa f-1(3e2x+1)f−1(3e2x+1) mediante la sustitución del valor de ff en f-1f−1.
f-1(3e2x+1)=ln(3e2x+13-13)2f−1(3e2x+1)=ln(3e2x+13−13)2
Paso 5.2.3
Reescribe ln(3e2x+13-13)2ln(3e2x+13−13)2 como 12ln(13(3e2x+1)-13)12ln(13(3e2x+1)−13).
f-1(3e2x+1)=12⋅ln(13⋅(3e2x+1)-13)f−1(3e2x+1)=12⋅ln(13⋅(3e2x+1)−13)
Paso 5.2.4
Simplifica 12ln(13(3e2x+1)-13)12ln(13(3e2x+1)−13) al mover 1212 dentro del algoritmo.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x+1)-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x+1)−13)12)
Paso 5.2.5
Simplifica cada término.
Paso 5.2.5.1
Aplica la propiedad distributiva.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1−13)12)
Paso 5.2.5.2
Cancela el factor común de 33.
Paso 5.2.5.2.1
Factoriza 33 de 3e2x3e2x.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3(e2x))+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3(e2x))+13⋅1−13)12)
Paso 5.2.5.2.2
Cancela el factor común.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln⎛⎜⎝(13⋅(3e2x)+13⋅1−13)12⎞⎟⎠
Paso 5.2.5.2.3
Reescribe la expresión.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1−13)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1−13)12)
Paso 5.2.5.3
Multiplica 1313 por 11.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+13−13)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+13−13)12)
Paso 5.2.6
Simplifica mediante la adición de términos.
Paso 5.2.6.1
Combina los términos opuestos en e2x+13-13e2x+13−13.
Paso 5.2.6.1.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+1−13)12)
Paso 5.2.6.1.2
Resta 11 de 11.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+03)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+03)12)
Paso 5.2.6.1.3
Divide 00 por 33.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+0)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+0)12)
Paso 5.2.6.1.4
Suma e2xe2x y 0.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x)12)
Paso 5.2.6.2
Multiplica los exponentes en (e2x)12.
Paso 5.2.6.2.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, (am)n=amn.
f-1(3e2x+1)=ln(e2x(12))
Paso 5.2.6.2.2
Cancela el factor común de 2.
Paso 5.2.6.2.2.1
Factoriza 2 de 2x.
f-1(3e2x+1)=ln(e2(x)(12))
Paso 5.2.6.2.2.2
Cancela el factor común.
f-1(3e2x+1)=ln(e2x(12))
Paso 5.2.6.2.2.3
Reescribe la expresión.
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
Paso 5.2.7
Usa las reglas de logaritmos para mover x fuera del exponente.
f-1(3e2x+1)=xln(e)
Paso 5.2.8
El logaritmo natural de e es 1.
f-1(3e2x+1)=x⋅1
Paso 5.2.9
Multiplica x por 1.
f-1(3e2x+1)=x
f-1(3e2x+1)=x
Paso 5.3
Evalúa f(f-1(x)).
Paso 5.3.1
Establece la función de resultado compuesta.
f(f-1(x))
Paso 5.3.2
Evalúa f(ln(x3-13)2) mediante la sustitución del valor de f-1 en f.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x3-13)2)+1
Paso 5.3.3
Simplifica cada término.
Paso 5.3.3.1
Cancela el factor común de 2.
Paso 5.3.3.1.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x-13)2)+1
Paso 5.3.3.1.2
Cancela el factor común.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x-13)2)+1
Paso 5.3.3.1.3
Reescribe la expresión.
f(ln(x3-13)2)=3eln(x-13)+1
f(ln(x3-13)2)=3eln(x-13)+1
Paso 5.3.3.2
Potencia y logaritmo son funciones inversas.
f(ln(x3-13)2)=3(x-13)+1
Paso 5.3.3.3
Cancela el factor común de 3.
Paso 5.3.3.3.1
Cancela el factor común.
f(ln(x3-13)2)=3(x-13)+1
Paso 5.3.3.3.2
Reescribe la expresión.
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
Paso 5.3.4
Combina los términos opuestos en x-1+1.
Paso 5.3.4.1
Suma -1 y 1.
f(ln(x3-13)2)=x+0
Paso 5.3.4.2
Suma x y 0.
f(ln(x3-13)2)=x
f(ln(x3-13)2)=x
f(ln(x3-13)2)=x
Paso 5.4
Como f-1(f(x))=x y f(f-1(x))=x, entonces f-1(x)=ln(x3-13)2 es la inversa de f(x)=3e2x+1.
f-1(x)=ln(x3-13)2
f-1(x)=ln(x3-13)2