Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ como una ecuación.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 e^{2 y} = x - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 e^{2 y} = x - 1$ por $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $e^{2 y}$ por $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 3.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 3.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Paso 5.2.3

Reescribe $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Paso 5.2.4

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.6.1

Combina los términos opuestos en $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6.1.3

Divide $0$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6.1.4

Suma $e^{2 x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.7

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Paso 5.2.8

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Paso 5.2.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Paso 5.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$