Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $1 - e^{y}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (1 - e^{y})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $x e^{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} + x e^{y}$ .

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Paso 3.4.3.1

Multiplica por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $e^{y} (1 + x) = x - 1$ por $1 + x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $e^{y} (1 + x) = x - 1$ por $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Paso 3.4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.6.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Paso 5.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Paso 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ por $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Paso 5.2.4.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Paso 5.2.6

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común de $1 - e^{x}$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Paso 5.2.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común de $1 - e^{x}$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Paso 5.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- e^{x} \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.4

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.5

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.7.6

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $1 - e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Paso 5.2.8.2

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Paso 5.2.8.3

Suma $- e^{x}$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Paso 5.2.8.4

Suma $2$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Paso 5.2.9.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.10

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Paso 5.2.11

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Paso 5.2.12

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.4

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.5.1

Suma $x$ y $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.5.3

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.4

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.4

Suma $0$ y $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$