Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{y} + 1$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (e^{y} + 1)$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} - x e^{y}$ .

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Paso 3.4.3.1

Multiplica por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $e^{y}$ de $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $e^{y} (1 - x) = x + 1$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $e^{y} (1 - x) = x + 1$ por $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Paso 3.4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Paso 3.4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.6.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Paso 3.4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ por $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común de $e^{x} + 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $e^{x} + 1$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Paso 5.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Multiplica $e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.6.2

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.6.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.6.4

Suma $2 e^{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Paso 5.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Paso 5.2.7.4

Resta $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Paso 5.2.7.5

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Paso 5.2.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Paso 5.2.8.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.9

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Paso 5.2.10

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Paso 5.2.11

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.5

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.3.3.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.4

Suma $x$ y $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.3.6.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Paso 5.3.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.4

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Resta $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.3

Suma $1$ y $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{x}{- x + 1}$ por $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $- x + 1$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$