Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $y$ .

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

Paso 3.3

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $4 (x + \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 3.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 4 x + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

Paso 5.2.3.4.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

Paso 5.2.3.4.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (4 x + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Paso 5.3.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (4 x + 2) = x + 0$

Paso 5.3.4.4

Suma $x$ y $0$ .

$f (4 x + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$