Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + 2 e^{y}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $2 x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Paso 3.4.2

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $e^{y}$ de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 3.4.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 3.4.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Paso 5.2.4.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Paso 5.2.4.6

Reescribe $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.6.1

Resta $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Paso 5.2.4.6.2

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Paso 5.2.6

Multiplica $2 e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ por $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $2 e^{x} + 1$ y $1 + 2 e^{x}$ .

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Paso 5.2.8.1

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Paso 5.2.8.3

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.9

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Paso 5.2.10

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Paso 5.2.11

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Paso 5.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Paso 5.3.4.2

Combina $2$ y $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$