Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{- 8 x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{- 8 x}$ como una ecuación.

$y = e^{- 8 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{- 8 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{- 8 y} = x$ .

$e^{- 8 y} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{- 8 y})$ ; para ello, mueve $- 8 y$ fuera del logaritmo.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

Paso 3.4

Divide cada término en $- 8 y = \ln (x)$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- 8 y = \ln (x)$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ es la inversa de $f (x) = e^{- 8 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

Paso 5.2.3

Expande $\ln (e^{- 8 x})$ ; para ello, mueve $- 8 x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $- 8$ y $8$ .

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $8$ de $- 8 x \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

Paso 5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

Paso 5.2.4.2.4

Divide $- x \ln (e)$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

Paso 5.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

Paso 5.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (x)}{8}$ al numerador.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

Paso 5.3.4

Multiplica.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ es la inversa de $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$