Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - 4 y}$ como ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$8 - 4 y = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 4 y = x^{2} - 8$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 4 y = x^{2} - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Divide $- 8$ por $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $8 - 4 x$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.4

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6

Reescribe ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ como $2 - x$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.10

Factoriza $4$ de $8 - 4 x$ .

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Paso 5.2.3.1.10.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.10.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.1.10.3

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $2 - x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Paso 5.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 2 + x + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Paso 5.3.3

Factoriza $4$ de $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Paso 5.3.5.2

Resta $2$ de $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Paso 5.3.5.3

Suma $\frac{x^{2}}{4}$ y $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Paso 5.3.6

Combina $4$ y $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Paso 5.3.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.7.1

Reduce la expresión $\frac{4 x^{2}}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.7.1.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Paso 5.3.7.1.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.7.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$